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Beschreibung
Die Studierenden sollen die grundlegenden Tatsachen aus der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie kennen lernen. Damit zusammenhängende Standardmethoden werden bereitgestellt und eingeübt. Ein ggf. später notwendiges Literaturstudium sollte aufgrund der Basiskenntnisse möglich sein.
27.10.2010
Vorlesungsaufzeichnungen 25.10.2010 01:13:54 14.149 Das Federpendel 1. Das Federpendel
- Das Modell
- Herleitung der Pendelgleichung
1.2 Hilfsmittel
- Die Exponentialfunktion
- Ableitungsregeln
1.3 Lösung der Pendelgleichung und Anfangswertprobleme
- Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel 26.10.2010 01:28:38 3.960 Das Federpendel und Komplexe Zahlen 1.3 Lösungen der Pendelgleichung
- Aus Lösungen konstruiert man weitere Lösungen
- Das Anfangswertproblem
- Ein Beispiel zur starken Dämpfung
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung
2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften 01.11.2010 01:28:21 4.083 Komplexe Zahlen 2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften
- Gaußsche Zahlenebene und Grundbegriffe
- Kosinus und Sinus
- Addtionstheoreme und komplexe Schreibweise
- Polarform einer komplexen Zahl
- Quadratische Gleichungen 02.11.2010 01:26:24 2.063 Komplexe Zahlen 2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung Pendelgleichung
- Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Von komplexen zu reellen Lösungen
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung 08.11.2010 01:30:19 1.563 Komplexe Zahlen 2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung: Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel für ein Anfangswertproblem
- Ein anderer Lösungsweg zum Beispiel
- Zusammenfassung zur Pendelgleichung 09.11.2010 01:31:25 3.254 Folgen und Reihen 3. Folgen und Reihen
3.1 Motivation
- Das Anfangswertproblem y'=y, y(0) = 1
- Potenzreihenansatz
3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Notation
- Ein Problem zur Illsutration
- Satz über die vollständige Induktion
- Lösung des Problems 15.11.2010 01:29:46 1.735 Folgen und Reihen 3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Geometrische Summenformel
- Bernoullische Ungleichung
- Beispiel für eine Rekursionsformel, Fakultäten
- Koeffizienten der e-Funktion
- Ausblick: Approximation der e-Funktion 16.11.2010 01:29:40 1.656 Folgen und Reihen 3.3 Grenzwerte
- Folgen
- Divergenz gegen unendlich
- Beispiele und das Archimedische Axiom
- Definition des Grenzwerts
- Grenzwertsätze 22.11.2010 01:27:47 1.146 Folgen und Reihen 3.3 Grenzwerte
- Wiederholung
- weitere Grenzwertsätze
- Summen, Produkte und Quotienten von Folgen
- Beispiele
- Partialsummenfolgen (Reihen)
- Die geometrische Reihe
- Grenzwert von Brüchen 23.11.2010 01:27:07 1.119 Folgen und Reihen 3.3 Folgen und Reihen
-Grenzwertsätze: monotone Folgen, Ungleichungen
- Quotientenkriterium
- Beispiel zum Quotientenkriterium
- Abschätzung von e
- Alternierende Reihen
- Beispiel zu alternierenden Reihen 29.11.2010 01:24:33 1.374 Stetigkeit 4. Stetigkeit
- Motivation
- Intervallhalbierungsverfahren
- Motivation des Stetigkeitsbegriff, Definition ''stetig''
- Zwischenwertsatz
- Summen, Produkte, Quotienten stetiger Funktionen
30.11.2010 01:31:13 1.332 Stetigkeit und Differenzieren 4. Stetigkeit
- Stetigkeit verketteter Funktionen
- Urbild offener Intervalle
- Extrema
5. Differenzieren
- 5.1 Einleitung
- 5.2 Geraden
- 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele 06.12.2010 01:25:56 1.275 Differenzieren 5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele
- Wiederholung
- Beispiele
- Summen- und Produktregel
- Ableitung von Polynomen
- Kettenregel
- Quotientenregel
- Beispiel zur Ketten- und Quotientenregel
- Tangens 07.12.2010 01:21:32 714 Differenzieren 5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele
- Kettenregel
- injektiv, Umkehrfunktion
- Beispiele: Wurzelfunktion, e-Funktion
- Ableitung der Wurzelfunktion 13.12.2010 01:30:49 630 Differenzieren 5.4 Anschauliche Bedeutung der Ableitung
5.5 Die Umkehrfunktion
- f(x+), f(x-)
- Wertebereich monotoner Funktionen
- Ableitung der Umkehrfunktion
- Tangens
- Arcustangens 03.01.2011 01:31:37 618 Differenzieren 5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion
- lokale Extrema
-Mittelwertsatz
- Monotoniebereiche
- konvex (linksgekrümmt) 04.01.2011 01:26:40 616 Differenzieren 5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion
- Natürlicher Logarithmus
- Allgemeine Potenzen
- Ableitung von ax
- Logartihmus zur Basis a
- Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen
- ex als Grenzwert bei Verzinsung
10.01.2011 01:29:35 1.407 Differenzialgleichungen 6. Differenzialgleichungen 6.1 Stammfunktionen
- Einige Beispiele
- Partielle Integration
- Elementare Transformationen, Linearität
- Substitutionsregel
- Das bestimmte Integral
11.01.2011 01:29:26 740 Differenzialgleichungen 6. Differenzialgleichungen 6.1. Stammfunktionen
- Beispiele für bestimmte Integrale, Flächeninhalt des Kreises
- 6.2 y' + f y = g
- Beispiel 17.01.2011 01:27:57 656 Differenzialgleichungen 6. Differenzialgleichungen 6.2 y' +f y = g
- Anleitung zur Lösung von y' + f y = g
- Ein Anfangswertproblem mit vielen Lösungen
- 6.3 Eindeutigkeit der Lösung bei der Pendelgleichung
- Additionstheoreme für Sinus und Kosinus 18.01.2011 01:27:48 593 Differenzialgleichungen und Gleichmäßige Konvergenz 6. Differenzialgleichungen 6.4 Trennung der Variablen 7. Gleichmäßige Konvergenz
- Einführendes Beispiel 1
- Beispiel 2: Explosion der Lösung
- Beispiel 3: AWP nicht eindeutig lösbar
- Definition der gleichmäßigen Konvergenz
- Stetigkeit der Grenzfunktion 24.01.2011 01:28:25 501 Gleichmäßige Konvergenz 7. Gleichmäßige Konvergenz
- Wiederholung
- Differenzierbarkeit der Grenzfunktion
- e- Funktion
- Sinus und Kosinus
- Tabelle zu Konvergenzregeln
- Ableitung von Potenzreihen
- Beispiele
- Konvergenzradius 25.01.2011 01:29:26 587 Gleichmäßige Konvergenz und Taylorformeln 7. Gleichmäßige Konvergenz 8. Taylorformeln
- Wiederholung
- Cauchy-Folgen
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Konvergenz von Stammfunktionen
- Äquivalenz der Definitionen von Sinus (Kosinus)
- Taylorformeln 31.01.2011 01:28:27 714 Taylorformeln 8. Taylorformeln
- Bilder zur Taylorapproximation
- Taylorformeln
- l'Hospital
- Beweis der Taylorformeln
- Taylorpolynome und - Reihen
- Beispiel: ln(1+x) 01.02.2011 01:28:37 1.190 Das Integral 9. Das Integral
- Ziele
- Approximation durch Polygonzüge
- Herleitung der Trapezsummenformel
- Integral und Flächeninhalt
- Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Beispiel
07.02.2011 01:31:31 928 Das Integral 9. Das Integral
- Fortsetzung des Beispiels
- Beweis der Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Längen von Kurven